Ce résultat est une curiosité mathématique qualifiée de paradoxe en
raison de son caractère contre-intuitif, en fait un résultat important
induit par les développements décimaux.
Notation :
Première démonstration
On pose la variable x :
En multipliant par 10, il s'ensuit que :
On procède à une soustraction entre les deux équations précédentes :
A partir de cela, on conclut que :
Explication
Le côté contre-intuitif de ce raisonnement tient au fait que dans notre esprit, la notation
, correspond à une suite finie de 9. Quand on pense à ce nombre, on
imagine 0,9999...9 donc un nombre fini. Or de par sa définition, ce
nombre a une expansion infinie et on ne peut le distinguer de 1. Pour
s'en convaincre, il n'est que d'essayer de chiffrer sa différence avec
1 ! Une autre approche est de considérer que deux nombres sont
différents s'il existe un nombre qui s'intercale entre eux. Or un tel
nombre n'existe pas entre 0,9999... et 1. Les deux nombres sont donc
identiques.
Encore plus formellement, on peut utiliser la notation des limites pour démontrer ce résultat :
0,9999... est en effet la somme d'une série (infinie) 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
Commentaire
On remarque que la seconde démonstration exige d'admettre que , ce qui n'est en fait pas plus évident que . On est juste plus habitués à cette affirmation-là.
Mathématiquement, il s'agit d'une curiosité et non d'un paradoxe : mais
il y a bien un paradoxe, c'est de voir que tout nombre décimal,
c'est-à-dire admettant un développement décimal fini, admet également
un développement infini (ne comportant que des 9 à partir d'un certain
rang). Le développement fini est l'écriture propre, celui comportant
une infinité de 9 est l'écriture impropre. Finalement, ce sont les
objets apparemment les plus simples en écriture décimale qui offrent
les pires complexités : on croit que 1 est plus simple à écrire en
écriture décimale que Pi, et pourtant Pi admet une écriture unique,
alors que 1 en admet deux. (!)
Il est important de se souvenir que l'écriture décimale n'est qu'une
des multiples manières de définir un nombre en mathématiques.
Si x est un nombre réel, on construit les suites de nombres décimaux suivantes :
un = frac{E(10^n times x)}{10^n} et v_n = frac{E(10^n times x) + 1}{10^n} où E(a) = partie entière de a
u_n s'appelle l'approximation décimale de x par défaut à 10_n et v_n celle par excès.
On démontre facilement que un et u-n+1 ne diffèrent
(éventuellement) que sur la n+1 décimale qui est de 0 pour un et de
a_n+1 pour u_n+1.
un s'écrit alors
un = sum_{k = 0}^{n}a_k10^{-k}
où tous les ak pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, ..., 9}
On démontre aussi que (un) et (vn) sont des suites adjacentes encadrant
x donc elles convergent vers x. On appelle alors développement décimal
illimité la suite (an) et on remarquera que
x = sum_{k = 0}^{+ infty}a_k10^{-k}.
Réciproquement, si (an) est une suite d'entiers tels que tous les ak
pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, ..., 9}, on démontre
que la série U_n = sum_{k = 0}^{n}a_k10^{-k} est convergente dans R
(complétude de Q) vers un réel x = sum_{k = 0}^{+ infty}a_k10^{-k}. Il
faut maintenant distinguer deux cas:
Si la suite (a_n) converge vers 9 (tous les termes égaux à 9 à
partir d'un certain rang k). Alors x est un décimal d'ordre k - 1. La
suite (Un) définie dans la première partie ne coincidera pas à la suite (Un). La suite (an) ne sera pas appelée un DDI (Développement Décimal Illimité = DDI).
Si la suite ne converge pas vers 9, la suite (Un) définie dans la première partie coincidera à la suite (Un) . La suite (an) sera appelée un DDI.
Cette construction d'un développement illimité permet de retrouver le
développement d'un décimal 3,5670000.... , d'un rationnel
3,25743743743...... non impropre.
On démontre que cette définition construit une bijection entre les réels et les suites (an) d'entiers tels que tous les ak pour k = 1 à n sont des entiers compris dans {0, ..., 9} ne convergeant pas vers 9.
, ce qui n'est en fait pas plus évident que